Question

已知函数f（x）=x²-2ax+a，x∈[-1，1]
（1）若函数f（x）在定义域上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）的值域为[-2，2]？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先，结合二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，限制a的取值范围；
（2）首先，假设存在，然后，结合函数的性质进行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x-a）²+a-a²，
∴对称轴x=a，
∵x∈[-1，1]
∵函数f（x）在定义域上不是单调函数，
∴-1＜a＜1，
实数a的取值范围为（-1，1），
（2）当a≤-1时，
函数f（x）在[-1，1]上为增函数，
所以

f(-1)=1+2a+a=-2 f(1)=1-2a+a=2

，
∴a=-1，
当a≥1时，
函数f（x）在[-1，1]上为减函数，
∴

f(-1)=1+2a+a=2 f(1)=1-2a+a=-2

，
此时，无解，
当-1＜a＜1时，
函数f（x）在x=a时取得最小值-2，
此时，f（a）=a²-a-2=0，
∴a=-1或a=2，
不合题意，舍去，
∴a=-1，

点评：本题主要考查函数的基本性质和函数的值域的求法，属于中档题，难度中等．