Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^x．若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥f²（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-2]
• B、（0，2]
• C、(-∞，-

  3

  2

  ]
• D、[-

  3

  2

  ，+∞)

Answer 1

考点：函数恒成立问题,指数函数的定义、解析式、定义域和值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为f（|x+t|）≥f²（|x|）恒成立，然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式f（x+t）≥f²（x）恒成立等价为f（|x+t|）≥f²（|x|）恒成立，
∵当x≥0时，f（x）=2^x．
∴不等式等价为2^|x+t|≥（2^|x|）²=2^2|x|恒成立，
即|x+t|≥2|x|在[t，t+2]上恒成立，
平方得x²+2tx+t²≥4x²，
即3x²-2tx-t²≤0在[t，t+2]上恒成立，
设g（x）=3x²-2tx-t²，
则满足

g(t)≤0 g(t+2)≤0

，
∴

3t2-2t2-t2≤0 3(t+2)2-2t(t+2)-t2≤0

，
即

0≤0 2t+3≤0

∴t≤-

3

2

，
故实数t的取值范围是t≤-

3

2

，
故选：C．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式转化为函数问题是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，综合性较强．