Question

【题目】坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线上两点的极坐标分别为.

（1）设为线段上的动点，求线段取得最小值时，点的直角坐标;

（2）求以为为直径的圆的参数方程，并求在（1）条件下直线与圆相交所得的弦长.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】

试题分析：（1）先根据将的极坐标化为直角坐标，再根据两点式求出线段所在直线方程，由图可知当线段时，线段获得最小值，此时由直线方程联立方程组可解交点坐标（2）先求出以为直径的圆直角坐标方程，再利用三角代换得参数方程是为参数），最后根据垂径定理求弦长

试题解析：（1）的极坐标化为直角坐标分别为,故直线的斜率为,直线的方程为.由题意,当线段时，线段获得最小值，此时直线的斜率为，所以直线的的方程为，联立，解得，故所求点的直角坐标为.

（2）因为的中点坐标为，故以为直径的圆直角坐标方程为，化为参数方程是为参数），因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交所得的弦长为.