Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，斜率为2的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，求线段AB中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记线段AB的中点为（x，y）．代入椭圆方程，由作差，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，化简可得轨迹方程，注意中点在椭圆内，求得x的范围即可．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记线段AB的中点为（x，y）．
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}$+y₂²=1，
两式作差得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{3}$+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
因直线AB斜率为2，代入y₁-y₂=2（x₁-x₂）得，
$\frac{1}{3}$（x₁+x₂）+2（y₁+y₂）=0，
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，即有x+6y=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+6y=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$解得x=±$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，又线段AB的中点在椭圆内部，
故所求的轨迹方程为：x+6y=0（-$\frac{6\sqrt{13}}{13}$＜x＜$\frac{6\sqrt{13}}{13}$）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，注意运用点差法和中点坐标公式以及直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题和易错题．