Question

3．椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足PF=AF，则$\frac{b^2}{a^2}$-2（lnb-lna）的范围是[$\frac{3}{4}$-ln$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出椭圆的右焦点和右准线，求得AF的长，再由椭圆的性质，可得a-c≤|PF|≤a+c，进而得到a≤2c，由a，b，c的关系，可得a，b的关系，令t=$\frac{b}{a}$，（0＜t$≤\frac{\sqrt{3}}{2}$），则f（t）=t²-2lnt，运用导数判断单调性，即可得到所求范围．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），右准线为x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由题意|PF|=|AF|=$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，
由椭圆的性质可得a-c≤|PF|≤a+c，
即有a-c≤$\frac{{a}^{2}}{c}$-c≤a+c，
即有c＜a+c且a-c≤c，
则有a²≤4c²=4（a²-b²），
即为0＜$\frac{b}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则$\frac{b^2}{a^2}$-2（lnb-lna）=（$\frac{b}{a}$）²-2ln$\frac{b}{a}$，
令t=$\frac{b}{a}$，（0＜t$≤\frac{\sqrt{3}}{2}$），则f（t）=t²-2lnt，
由f′（t）=2t-$\frac{2}{t}$在（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]小于0，则有f（t）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]递减，
故f（t）的范围为[$\frac{3}{4}$-ln$\frac{3}{4}$，+∞）．
故答案为：[$\frac{3}{4}$-ln$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的准线方程的运用，椭圆上一点到焦点的距离的最值，同时考查导数的运用：判断单调性，属于中档题．