Question

12．已知命题P：对x∈[1，2]，不等式x²≥k恒成立，命题Q：关于x的方程x²-x+k=0有实数根，如果命题“￢P”为假，命题“P∧Q”为假，求k的取值范围．

Answer 1

分析 首先，判断出P，Q的真假，求解所给命题都是真命题时，k的取值情况，然后，结合条件求解即可．

解答 解：因为命题“￢P”为假，所以命题P是真命题，
又因为命题“P∧Q”为假，所以命题Q是假命题，
要使对任意x∈[1，2]，不等式x²≥k恒成立，只需k≤（x²）_min=1，
所以命题P是真命题的条件是：k≤1．
关于x的方程x²-x+k=0有实数根，则只需△=1-4k≥0，即k≤$\frac{1}{4}$．
命题Q是真命题的条件是：k≤$\frac{1}{4}$，所以命题Q是假命题的条件是k＞$\frac{1}{4}$．
综上所述，使命题“￢P”为假，命题“P∧Q”为假的条件是k的取值范围为 $（\frac{1}{4}，1]$．

点评 本题重点考查了不等式恒成立问题、命题的真假判断、复合命题的真假判断等知识，属于中档题．