Question

4．如图ABCD为正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2，F为VA中点，E为CD中点．
①求证：DF∥平面VEB；
②求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值；
③V、D、C、B四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S，求S．

Answer 1

分析 ①取VB的中点O，连接OE，OF，证明四边形OFDE是平行四边形，可得OE∥DF，利益线面平行的判定定理证明DF∥平面VEB；
②利用面积射影法求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值；
③V、D、C、B四点在同一个球面上，VB是球的直径，即可取出所在球的球面面积．

解答 ①证明：取VB的中点O，连接OE，OF，则
因为F为VA中点，
所以OF∥AB，OF=$\frac{1}{2}$AB，
因为E为CD中点，
所以DE=$\frac{1}{2}$CD，
因为AB∥CD，
所以OF∥DE，OF=DE，
所以四边形OFDE是平行四边形，
所以OE∥DF，
因为OE?平面VEB，DF?平面VEB
所以DF∥平面VEB；（4分）
②解：△VBE中，BE=VE=$\sqrt{5}$，VB=2$\sqrt{3}$，S_△VBE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$，
因为S_△VAD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
所以平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$；（8分）
③解：因为V、D、C、B四点在同一个球面上，
所以VB是球的直径，VB=2$\sqrt{3}$，
所以S=4π×3=12π．（12分）

点评 本题考查线面平行，考查二面角的余弦值、球的球面面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．