Question

14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（2a-c）cosB=bcosC
（1）求角B的大小；
（2）设函数f（x）=cos（2x-B），将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位后得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理及其两角和差的正弦公式可得：$cosB=\frac{1}{2}$，即可得出．
（2）f（x）=cos（2x-B），将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位后得到函数y=g（x）=$cos[2（x+\frac{π}{12}）-\frac{π}{3}]$=cos$（2x-\frac{π}{6}）$．利用余弦函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴$cosB=\frac{1}{2}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）f（x）=cos（2x-B），将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位后得到函数y=g（x）=$cos[2（x+\frac{π}{12}）-\frac{π}{3}]$=cos$（2x-\frac{π}{6}）$．
由$2kπ-π≤2x-\frac{π}{6}$≤2kπ，解得$kπ-\frac{5π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{π}{12}$，（k∈Z），
∴g（x）的单调增区间为$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$（k∈Z）．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．