Question

15．已知等比数列{a_n}满足q＞1，且a₁+a₆=11，a₃a₄=$\frac{32}{9}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m，恰使$\frac{2}{3}$a_m-1，a_m²，a_m+1+$\frac{4}{9}$这三个数依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的通项公式和性质，建立方程组关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据等差数列的性质建立方程关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵a₁+a₆=11，a₃a₄=$\frac{32}{9}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{5}=11}\\{{a}_{1}{q}^{2}•{a}_{1}{q}^{3}=\frac{32}{9}}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{32}{3}}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∵q＞1，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
则数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{3}•{2}^{n-1}$；
（2）对a_n=$\frac{1}{3}•{2}^{n-1}$，若存在正整数m，恰使$\frac{2}{3}$a_m-1，a_m²，a_m+1+$\frac{4}{9}$这三个数依次成等差数列，
则$\frac{2}{3}$a_m-1+a_m+1+$\frac{4}{9}$=2a_m²，
即$\frac{2}{3}•\frac{1}{3}•{2}^{m-2}+\frac{1}{3}•{2}^{m}+\frac{4}{9}$=$2•（\frac{1}{3}•{2}^{m-1}）^{2}$，
即（2^m）²-7•2^m+8=0，
解得2^m=8，即m=3．

点评 本题主要考查等比数列和等差数列性质和通项公式的求解，考查学生的计算能力．