Question

5．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4．
（1）求以点A为圆心，以$\sqrt{10}$为半径的圆与直线l相交所得弦长；
（2）设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线l：y=2x-4与圆A相交的弦为线段BC，求出圆心到直线l的距离，利用垂径定理求解即可．
（2）设圆C的方程为（x-a）²+[y-2（a-2）]²=1．设点M（x，y），通过|MA|=2|MO|，化简，利用点M（x，y）在圆C上，推出|2-1|≤|CD|≤2+1，求解即可．

解答 解：（1）设直线l：y=2x-4与圆A相交的弦为线段BC
则圆心到直线l的距离$d=\frac{{|{0-3-7}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{7}{{\sqrt{5}}}=\frac{7}{5}\sqrt{5}$．---------------------------（2分）
由题意知${（{\frac{{|{BC}|}}{2}}）^2}+{d^2}={（\sqrt{10}）^2}$，---------------------------（4分）
解得$|{BC}|=\frac{2}{5}\sqrt{5}$．--------------------（6分）
（2）因为圆心在直线y=2x-4上，所以圆C的方程为（x-a）²+[y-2（a-2）]²=1．
设点M（x，y），因为|MA|=2|MO|，
所以$\sqrt{{x^2}+{{（y-3）}^2}}=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}$，化简得x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4，
所以点M在以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆上．---------------------------（8分）
由题意，点M（x，y）在圆C上，所以M 是圆C与圆D的公共点，则|2-1|≤|CD|≤2+1，所以 $1≤\sqrt{{a^2}+{{（2a-3）}^2}}≤3$．---------------------------（10分）
即$\left\{\begin{array}{l}5{a^2}-12a+8≥0\\ 5{a^2}-12a≤0\end{array}\right.$得$0≤a≤\frac{12}{5}$
所以点C的横坐标a的取值范围为$[{0，\frac{12}{5}}]$．----------------（12分）

点评 本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．