Question

6．如图把椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P₁，P₂，…P₇七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P₁F|+|P₂F|+…+|P₇F|=28．

Answer 1

分析 分别连结点F₂与P₁，P₂，…P₇七个点，利用对称性计算即得结论．

解答 解：F是椭圆的一个焦点，不妨令F为左焦点F₁，则右焦点为F₂，
分别连结点F₂与P₁，P₂，…P₇七个点，
易知当i+j=8时有：|P_iF₁|=|P_jF₂|，其中i、j∈{1，2，3，…，7}，
由椭圆定义可知：|P_iF₁|+|P_iF₂|=2a=2×4=8，i∈{1，2，3，…，7}，
∴2（|P₁F|+|P₂F|+…+|P₇F|）=7×8=56，
即|P₁F|+|P₂F|+…+|P₇F|=28，
故答案为：28．

点评 本题考查椭圆的定义，利用对称轴是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．