Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线y=x上．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线y=$\frac{1}{2}$x的对称点的横坐标为x₀=$\frac{6}{5}$，求椭圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，得到线段AB的中点，设y=-x+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出椭圆的离心率；
（Ⅱ）求出椭圆的右焦点坐标，再由点关于直线对称的求法，运用中点坐标公式和直线垂直的条件，即可得到b=2，进而得到a，即可得到椭圆方程．

解答 解：（Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，得x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，
∴直线y=-x+1与x-2y=0的交点为M（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴线段AB的中点为（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
设y=-x+1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=$\frac{2}{3}$，
分别把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得：
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减，得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-1，
即有a²=2b²=2（a²-c²），∴a=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=c，则椭圆的右焦点F（b，0），
设F关于直线y=$\frac{1}{2}$x对称点为（$\frac{6}{5}$，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}-0=-2（\frac{6}{5}-b）}\\{\frac{{y}_{0}+0}{2}=\frac{1}{4}（\frac{6}{5}+b）}\end{array}\right.$，解得b=2，a=$\sqrt{2}$b=2$\sqrt{2}$．
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，以及方程的运用，同时考查点差法和点关于直线对称的求法，属于中档题．