Question

11．已知P是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1上的点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则△F₁PF₂的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 通过设P（m，n），利用向量数量积求出点P坐标，计算即得结论．

解答 解：设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$，
∴m²+n²=3+$\frac{1}{4}$m²，
∵F₁，F₂分别是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}$=1的左、右焦点，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，
∴$cos\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{P{F}_{2}}|}$
=$\frac{（-1-m，0-n）•（1-m，0-n）}{\sqrt{（-1-m）^{2}+（0-n）^{2}}•\sqrt{（1-m）^{2}+（0-n）^{2}}}$
=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-1}{\sqrt{{m}^{2}+2m+{n}^{2}+1}•\sqrt{{m}^{2}-2m+{n}^{2}+1}}$
=$\frac{3+\frac{1}{4}{m}^{2}-1}{\sqrt{3+\frac{1}{4}{m}^{2}+1+2m}•\sqrt{3+\frac{1}{4}{m}^{2}+1-2m}}$
=$\frac{2+\frac{1}{4}{m}^{2}}{\sqrt{4+\frac{1}{4}{m}^{2}+2m}•\sqrt{4+\frac{1}{4}{m}^{2}-2m}}$
=$\frac{1}{2}$，
∴[（4+$\frac{1}{4}$m²）+2m]•[（4+$\frac{1}{4}$m²）-2m]=4$（2+\frac{1}{4}{m}^{2}）^{2}$，
化简得：$\frac{3}{16}{m}^{4}$+6m²=0，
即：m=0，∴n=±$\sqrt{3}$，
不妨取P（0，3），则△F₁PF₂的面积为$\frac{1}{2}•|OP|•|{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}•\sqrt{3}•2$=$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及平方差公式、三角形面积计算、向量数量积运算等基础知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．