Question

6．已知f（x）=e^x-ax²，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）证明：当x＞0时，e^x+（1-e）x-xlnx-1≥0．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，计算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；
（2）求出f（x）的导数，得到导函数的单调性，得到f（x）在[0，1]递增，从而求出f（x）的最大值；
（3）只需证明x＞0时，f（x）≥（e-2）x+1，设g（x）=f（x）-（e-2）x-1，x＞0，根据函数的单调性得到e^x+（2-e）x-1≥xlnx+x，从而证出结论即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2ax，
∴f′（1）=e-2a=b，f（1）=e-a=b+1，
解得：a=1，b=e-2；
（2）由（1）得：f（x）=e^x-x²，
f′（x）=e^x-2x，f″（x）=e^x-2，
∴f′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∴f′（x）≥f′（ln2）=2-2ln2＞0，
∴f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）_max=f（1）=e-1；
（3）∵f（0）=1，由（2）得f（x）过（1，e-1），
且y=f（x）在x=1处的切线方程是y=（e-2）x+1，
故可猜测x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e-2）x+1的上方，
下面证明x＞0时，f（x）≥（e-2）x+1，
设g（x）=f（x）-（e-2）x-1，x＞0，
g′（x）=e^x-2x-（e-2），g″（x）=e^x-2，
由（2）得：g′（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∵g′（0）=3-e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，
∴g′（ln2）＜0，
∴存在x₀∈（0，1），使得g′（x）=0，
∴x∈（0，x₀）∪（1，+∞）时，g′（x）＞0，
x∈（x₀，1）时，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，x₀）递增，在（x₀，1）递减，在（1，+∞）递增，
又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0当且仅当x=1时取“=”，
故$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x，x＞0，
由（2）得：e^x≥x+1，故x≥ln（x+1），
∴x-1≥lnx，当且仅当x=1时取“=”，
∴$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥x≥lnx+1，
即$\frac{{e}^{x}+（2-e）x-1}{x}$≥lnx+1，
∴e^x+（2-e）x-1≥xlnx+x，
即e^x+（1-e）x-xlnx-1≥0成立，
当且仅当x=1时“=”成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．