已知函数有三个极值点。
(I)证明:;
(II)若存在实数c,使函数在区间
上单调递减,求
的取值范围。
(1)利用导数的符号判定函数单调性,以及桉树的极值,进而证明。
(2) 当时,
所以
且
即故
或
反之, 当
或
时,
总可找到使函数
在区间
上单调递减.
解析试题分析:解:(I)因为函数有三个极值点,
所以有三个互异的实根.
设则
当时,
在
上为增函数;
当时,
在
上为减函数;
当时,
在
上为增函数;
所以函数在
时取极大值,在
时取极小值. (3分)
当或
时,
最多只有两个不同实根.
因为有三个不同实根, 所以
且
.
即,且
,
解得且
故
. (5分)
(II)由(I)的证明可知,当时,
有三个极值点.
不妨设为(
),则
所以的单调递减区间是
,
若在区间
上单调递减,
则, 或
,
若,则
.由(I)知,
,于是
若,则
且
.由(I)知,
又当
时,
;
因此, 当时,
所以
且
即故
或
反之, 当
或
时,
总可找到使函数
在区间
上单调递减. (10分)
考点:导数的运用
点评:解决的关键是利用导数的符号判定函数的单调性,以及函数的极值,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数.
(1)若,函数
是R上的奇函数,当
时
,(i)求实数
与
的值;(ii)当时,求
的解析式;
(2)若方程的两根中,一根属于区间
,另一根属于区间
,求实数
的取 值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知函数,
,满足
,
.
(1)求,
的值;
(2)若各项为正的数列的前
项和为
,且有
,设
,求数列
的前
项和
;
(3)在(2)的条件下,证明:.
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