Question

17．已知函数f（x）在实数集R上具有下列性质：
①f（x+2）=-f（x）；
②f（x+1）是偶函数；
③当x₁≠x₂∈[1，3]时，（f（x₂）-f（x₁））•（x₂-x₁）＞0，
则f（2015），f（2016），f（2017）的大小关系为（　　）

• A． f（2015）＞f（2016）＞f（2017）
• B． f（2016）＞f（2015）＞f（2017）
• C． f（2017）＞f（2015）＞f（2016）
• D． f（2017）＞f（2016）＞f（2015）

Answer 1

分析 由①可得f（x）是周期等于4的函数，由②可得f（x）=f（2-x），由③可得函数f（x）在[1，3]上单调递增，由此可判断f（2015），f（2016），f（2017）的大小关系．

解答 解：∵①f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=f（x），故函数f（x）是周期等于4的函数．
∵②f（x+1）是偶函数，故有f（-x+1）=f（x+1），即f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
③当x₁≠x₂∈[1，3]时，（f（x₂）-f（x₁））•（x₂-x₁）＞0，即$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞0，
故函数f（x）在[1，3]上单调递增．
又f（2015）=f（3），f（2016）=f（0）=f（2），f（2017）=f（1），∴f（3）＞f（2）＞f（1），
则f（2015）＞，f（2016）＞f（2017），
故选：A．

点评 本题主要考查函数的周期性、函数图象的对称性，函数的单调性，属于中档题．