Question

6．已知函数f（x）=x³+ax．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求a的值和f（x）的极值；
（Ⅱ）若过点A（1，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（x）在x=1处的切线平行于x轴，可得f′（1）=0，由此求a的值，把a值代入导函数，求得导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，列表得到单调区间，则f（x）的极值可求；
（Ⅱ）设出切点（t，t³+at），求导数，利用直线方程点斜式得到切线方程，代入A的坐标，化为关于t的方程，再利用导数求出关于t的函数的极值，由极大值大于0，且极小值小于0联立不等式组求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+a，
∵f（x）在x=1处的切线平行于x轴，∴f′（1）=3+a=0，即a=-3．
∴f（x）=x³-3x．
令f′（x）=3x²-3=0，得x=±1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）_极大值=f（-1）=2，f（x）_极小值=f（1）=-2；
（Ⅱ）设切点为（t，t³+at），则切线斜率为f′（t）=3t²+a，
∴切线方程为 y-t³-at=（3t²+a）（x-t），
∵点A（1，0）在切线上，
∴-t³-at=（3t²+a）（1-t），即 2t³-3t²-a=0．（*）  
于是，若过点A可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程（*）有三个相异的实根根．
记 g（t）=2t³-3t²-a，则 g′（t）=6t²-6t．
当t∈（-∞，0）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，
当t∈（0，1）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数，
当t∈（1，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，
∴g（t）_极大值=g（0）=-a，g（t）_极小值=g（1）=-1-a．
要使方程（*）有三个相异实根，
则$\left\{\begin{array}{l}g{（t）_{极大值}}=-a＞0\\ g{（t）_{极小值}}=-1-a＜0\end{array}\right.$，即-1＜a＜0．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，对于（Ⅱ）的求解，正确转化是关键，是中档题．