Question

1£®ÒÑÖªÍÖÔ²C£º$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1£¨a£¾b£¾0£©µÄÀëÐÄÂÊΪ$\frac{\sqrt{3}}{2}$£¬ÇÒF₁£¬F₂·Ö±ðÊÇÍÖÔ²CµÄ×óÓÒ½¹µã£¬µãM£¨0£¬4£©£¬$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13£®
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£¨2£©¹ýA£¨0£¬1£©×÷Ö±ÏßlÓëÍÖÔ²µÄÁíÒ»½»µãΪB£¬Èô$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{5}$£¬ÇóÍÖÔ²Éϵĵ㵽ֱÏßlµÄ¾àÀëµÄ×î´óÖµ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÀûÓõãM£¨0£¬4£©£¬$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13£¬Çó³öc£¬ÀûÓÃÍÖÔ²C£º$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1£¨a£¾b£¾0£©µÄÀëÐÄÂÊΪ$\frac{\sqrt{3}}{2}$£¬Çó³öa£¬¿ÉµÃb£¬¼´¿ÉÇóÍÖÔ²CµÄ·½³Ì£»
£¨2£©ÏÈÇó³öÖ±ÏßlµÄ·½³Ì£¬ÔÙÀûÓòÎÊý·¨Çó³öÍÖÔ²Éϵĵ㵽ֱÏßlµÄ¾àÀëµÄ×î´óÖµ£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ßµãM£¨0£¬4£©£¬$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=13£¬
¡à£¨-c£¬-4£©•£¨c£¬-4£©=13£¬
¡àc=$\sqrt{3}$£¬
¡ße=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$£¬
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¡àb=1£¬
¡àÍÖÔ²CµÄ·½³Ì$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1£»
£¨2£©ÉèÖ±ÏßlµÄ·½³ÌΪy=kx+1£¬´úÈë$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1£¬ÕûÀí¿ÉµÃ£¨1+4k²£©x²+8kx=0
ÉèB£¨x₁£¬y₁£©£¬Ôòx₁=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$
¡ß$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{5}$£¬
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¡àk¡Á£¨-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$£©+1=-$\frac{3}{5}$£¬
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ÉèÍÖÔ²Éϵĵ㣨x£¬y£©£¬Ôòx=2cos¦È£¬y=sin¦È
ÍÖÔ²Éϵĵ㵽ֱÏßlµÄ¾àÀëd=$\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{5}cos£¨¦È+¦Á£©+1|}{\sqrt{2}}$£¬
¡àÍÖÔ²Éϵĵ㵽ֱÏßlµÄ¾àÀëµÄ×î´óֵΪ$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÍÖÔ²µÄ·½³ÌÓëÐÔÖÊ£¬¿¼²éÏòÁ¿ÖªÊ¶µÄÔËÓ㬿¼²éµãµ½Ö±ÏߵľàÀ빫ʽ£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮