Question

6．已知函数$f（x）=2cos\frac{x}{2}（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）-1，x∈R$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设$α，β∈（{0，\frac{π}{2}}），f（α）=2，f（β）=\frac{6}{5}$，求f（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的周期公式即可得出；
（2）由已知求值α，β，再利用和差公式即可得出．

解答 解：（1）∵$f（x）=2cos\frac{x}{2}（\sqrt{3}sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}）-1=\sqrt{3}（2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}）+（2{cos^{\;}}\frac{x}{2}-1）$=$\sqrt{3}sinx+cosx=2sin（x+\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的最小正周期T=2π
（2）∵f（α）=2，即$sin（α+\frac{π}{6}）=1，由于α∈（{0，\frac{π}{2}}），则\frac{π}{6}＜α+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
∴$α+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}，即α=\frac{π}{3}$．
 又∵$f（β）=\frac{6}{5}$，即$sin（α+\frac{π}{6}）=\frac{3}{5}，由于β∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴$\frac{π}{6}＜β+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
∵$\frac{3}{5}＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}，则\frac{π}{6}＜β+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}，则cos（α+\frac{π}{6}）=\frac{4}{5}$，
∴$f（α+β）=2sin（α+β+\frac{π}{6}）=2sin（\frac{π}{2}+β）=2cosβ=2cos[（β+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]$
=$2cos（β+\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}+2sin（β+\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}=\frac{{4\sqrt{3}+3}}{5}$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．