Question

【题目】已知椭圆（）的离心率为，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于、两点，点与原点关于直线对称，试求四边形的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）由题得：过椭圆的左焦点和上顶点的直线方程为，又由该直线与圆相切得到：，联立，解方程组即得；

（2）由题得直线的斜率一定存在，可设直线，代入椭圆方程，消元化简得：

，由弦长公式求得，再求出点到直线的距离，算出，最后求出四边形的面积的最大值.

（1）过椭圆的左焦点和上顶点的直线方程为，即，

又该直线与圆相切，，又离心率，，

，，

椭圆的方程为.

（2）由点与原点关于直线对称，得.

当直线的斜率不存在时，轴，四边形不存在，不合题意.

当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线，设，，

将代入，得，

当，即时，，，

从而，

又点到直线的距离，

，

设，则，，

当且仅当，即时等号成立，且满足，

四边形的面积的最大值为2.