Question

11．函数f（x）=x²-2bx+3在x∈[-1，2]时有最小值1，则实数b=-$\frac{3}{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 讨论f（x）的对称轴与区间[-1，2]的关系，判断f（x）的单调性，根据最小值为1列方程计算b．

解答 解：f（x）的对称轴为x=b，
（1）若b≤-1，则f（x）在[-1，2]上单调递增，
∴f_min（x）=f（-1）=1，即4+2b=1，∴b=-$\frac{3}{2}$．
（2）若b＞2，则f（x）在[-1，2]上单调递减，
∴f_min（x）=f（2）=1，即7-4b=1，∴b=$\frac{3}{2}$（舍）．
（3）若-1＜b＜2，在f（x）在[-1，2]上先减后增，
∴f_min（x）=f（b）=1，即-b²+3=1，解得b=$\sqrt{2}$或b=-$\sqrt{2}$（舍）．
综上，b=-$\frac{3}{2}$或b=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}或-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值计算，属于中档题．