Question

若非零函数对任意实数均有，且当时
（1）求证：；
（2）求证：为R上的减函数；
（3）当时， 对时恒有，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）证法一：即又

当时， 
 则
故对于恒有                    
证法二： 为非零函数   
（2）证明：令且
有， 又 即
故 又 
故为R上的减函数
（3）实数的取值范围为

解析试题分析：（1）由题意可取代入等式，得出关于的方程，因为为非零函数，故，再令代入等式，可证，从而证明当时，有；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当时，有，根据等式，令，，可得，从而可证该函数为减函数.（3）根据，由条件可求得，将替换不等式中的，再根据函数的单调性可得，结合的范围，从而得解.
试题解析：（1）证法一：即又

当时， 
 则
故对于恒有                             4分
证法二： 为非零函数   
（2）令且
有， 又 即
故 又 
故为R上的减函数                               8分
（3）故，        10分
则原不等式可变形为
依题意有 对恒成立
或或
故实数的取值范围为       13分
考点：1.函数的概念；2.函数的单调性；3.二次函数.