Question

19．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平ABD面；
（2）若AE⊥平面BCD，BD⊥CD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的性质可得BD∥EF，从而得出EF∥平面ABD；
（2）由AE⊥平面BCD可得AE⊥CD，由BD⊥CD，BD∥EF可得EF⊥CD，从而有CD⊥平面AEF，故而平面AEF⊥平面ACD．

解答 证明：（1）∵BD∥平面AEF，BD?平面BCD，平面BCD∩平面AEF=EF，
∴BD∥EF，又BD?平面ABD，EF?平面ABD，
∴EF∥平ABD面．
（2）∵AE⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AE⊥CD，
由（1）可知BD∥EF，又BD⊥CD，
∴EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，
∴CD⊥平面AEF，又CD?平面ACD，
∴平面AEF⊥平面ACD．

点评 本题考查了线面平行、线面垂直的性质，面面垂直的判定，属于中档题．