Question

2．设i为虚数单位，复数z和ω满足zω+2iz一2iω+1=0．
（1）若z和ω满足$\overline{ω}$-z=2i，求z和ω的值；
（2）求证：如果|z|=$\sqrt{3}$，那么|ω-4i|的值是一个常数，并求这个常数．

Answer 1

分析 （1）设出ω=x+yi（，x，y∈R），问题转化为（x+yi）（x-yi）-4i（x+yi）+2i（x-yi）+5=0，得到关于x，y的方程组，求出x，y的值即可；
（2）问题转化为：|z||ω+2i|=|2iω-1|①，设ω=x+yi，表示出ω+2i和2iω-1，求出x²+y²-8y=11，得到|ω-4i|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-8y+16}$，得到其结果是常数即可．

解答 解：（1）∵$\overline{ω}$-z=2i，∴z=$\overline{ω}$-2i，
代入zω+2iz一2iω+1=0得：
（$\overline{ω}$-2i）（ω+2i）-2iω+1=0，
∴ω$\overline{ω}$-4iω+2i$\overline{ω}$+5=0，
设ω=x+yi（，x，y∈R），
则上式可变为（x+yi）（x-yi）-4i（x+yi）+2i（x-yi）+5=0，
∴x²+y²+6y+5-2xi=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}{+y}^{2}+6y+5=0}\\{-2x=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴ω=-i，z=-i或ω=-5i，z=3i；
（2）zω+2iz一2iω+1=0，
有z（ω+2i）=2iω-1，
∴|z||ω+2i|=|2iω-1|①，
设ω=x+yi，则有：
|ω+2i|=|x+（y+2）i|=$\sqrt{{{x}^{2}（y+2）}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}+4y+4}$
|2iω-1|=|-2y-1+2xi|=$\sqrt{{（2y+1）}^{2}+{4x}^{2}}$=$\sqrt{{4x}^{2}+{4y}^{2}+4y+1}$，
又|z|=3，故①式可变为：
3（x²+y²+4y+4）=4x²+4y²+4y+1，
∴x²+y²-8y=11，
∴|ω-4i|=|x+（y-4）i|=$\sqrt{{x}^{2}{+（y-4）}^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}-8y+16}$=$\sqrt{16+11}$=3$\sqrt{3}$，
∴|ω-4i|的值是常数，且是3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了复数的运算，考查共轭复数问题，考查学生的综合运算能力，是一道中档题．