Question

9．已知函数$f（x）=lo{g}_{a}x+lo{g}_{\frac{1}{a}}$8（a＞0，且a≠1），在集合{$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，3，4，5，6，7}中任取一个数为a，则f（3a+1）＞f（2a）＞0的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由f（x）=log_ax-log_a8）=$lo{g}_{a}\frac{x}{8}$，求出基本事件总数和满足f（3a+1）＞f（2a）＞0的基本事件个数，由此能示出f（3a+1）＞f（2a）＞0的概率．

解答 解：∵函数$f（x）=lo{g}_{a}x+lo{g}_{\frac{1}{a}}$8（a＞0，且a≠1），
∴f（x）=log_ax-log_a8）=$lo{g}_{a}\frac{x}{8}$，
∵在集合{$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，3，4，5，6，7}中任取一个数为a，
∴基本事件总数n=8，
∵f（3a+1）＞f（2a）＞0
3a+1-2a=a-1，
当a＞1时，3a+1＞2a，2a＞1，即a=5，6，7时才成立；
当a＜1时，3a+1＜2a，即a+1＜1，不成立．
∴满足f（3a+1）＞f（2a）＞0的基本事件个数m=3，
∴f（3a+1）＞f（2a）＞0的概率为p=$\frac{m}{n}=\frac{3}{8}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．