Question

如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x²+y²-2y=0的参数方程为

 

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Answer 1

考点：直线的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：先将圆的方程化为标准方程，从而得圆心坐标与半径．当直线与圆相交时，设直线与圆的另一个交点为M（x，y），根据直角三角函数的定义，用θ表示|OM|，再由任意角的三角函数的定义得x与θ的关系，及y与θ的关系，即可得圆的参数方程．

解答： 解：方程x²+y²-2y=0的标准方程为x²+（y-1）²=1，
可知，圆心坐标为（0，1），半径为1，显然，此圆与x轴相切于坐标原点O．
设圆与y轴的另一个交点为P，如右图所示．
①当题设直线与圆相交时，设直线与圆的另一个交点为M（x，y），
连结P，M，在直角三角形OPM中，有|OM|=|OP|sinθ=2sinθ，
由三角函数的定义得

x=|OM|cosθ y=|OM|sinθ

，即

x=2sinθcosθ y=2sin2θ

，
得

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈（0，π））．
②当题设直线与圆相切时，此直线即为x轴，此时x=y=0，可取θ=0．
综上知，圆x²+y²-2y=0的参数方程为

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈[0，π））．
故答案为

x=sin2θ y=2sin2θ

（θ∈[0，π））．

点评：1．本题考查了圆的参数方程，涉及圆的标准方程，三角函数的定义等．求参数方程，只需获得x，y关于θ的表达式即可．用θ表示|OM|是求解本题的突破口．
2．为了使参数方程更明确，可给出θ的范围．事实上，本题中给定θ∈R也可以，不过注明θ∈[0，π）就已经足够了．