Question

【题目】设函数f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣ ， ）
【解析】解：当x≥2a时，f（x）=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a ， 此时为增函数，
当x＜2a时，f（x）=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a ， 此时为减函数，
即当x=2a时，函数取得最小值0，
设两个切点为M（x1 ， f（x1）），N（（x2 ， f（x2）），
由图象知，当两个切线垂直时，必有，x1＜2a＜x2 ，
即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣ ＜a＜1，
∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=ex1（﹣ex2）=﹣ex1+x2=﹣1，
则ex1+x2=1，即x1+x2=0，
∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，
∴2a＜1，解得a＜ ，
综上﹣ ＜a＜ ，
所以答案是：（﹣ ， ）．