Question

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用，如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P，经试验当△ADP的面积最大时最节能．
（1）设AB=x（米），用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围．
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意，AB=x，BC=2-x．x＞2-x，故1＜x＜2．设DP=y，从而求出x与y的关系；
（2）记△ADP的面积为S₁，从而可得S₁=（1-

1

x

）（2-x），化简利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）由题意，AB=x，BC=2-x．x＞2-x，故1＜x＜2．
设DP=y，则PC=x-y．又△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由PA²=AD²+DP²，
得（x-y）²=（2-x）²+y²，y=2（1-

1

x

），1＜x＜2．
（2）记△ADP的面积为S₁，
则S₁=（1-

1

x

）（2-x）=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，
当且仅当x=

2

∈（1，2）时，S₁取得最大值．
故当薄板长为

2

米，宽为（2-

2

）米时，节能效果最好．

点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．