Question

2．已知F₁，F₂为椭圆的两个焦点，以F₁为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P，若PF₂恰好与圆F₁相切，则该椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由题设知丨F₁P丨=c，丨PF₂丨=2a-c，丨F₁F₂丨=2c，由直线F₂M与圆F₁相切，知∠F₁PF₂=90°．则c²+（2a-c）²=4c²，由此能求出该椭圆的离心率．

解答 解：由题设知丨F₁P丨=c，丨PF₂丨=2a-c，丨F₁F₂丨=2c，
∵直线F₂P与圆F₁相切，
∴∠F₁PF₂=90°．
∴c²+（2a-c）²=4c²，
整理得4a²-4ac=2c²，
∴e²+2e-2=0，
解得e=$\sqrt{3}$-1或e=-$\sqrt{3}$-1（舍）．
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地利用椭圆性质，恰当地进行等价转化，属于中档题．