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    【题目】已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.

    （1）求概率的值；

    （2）求随机变量的概率分布及其数学期望.

    【答案】（1）（2）见解析

    【解析】

    （1）由题意，分别得出“从5个顶点中随机选取3个点构成三角形”和“”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；

    （2）先由题意得到的可能取值，求出对应的概率，进而可得到分布列，求出期望.

    解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，

    共有种取法.其中的三角形如，

    这类三角形共有个.

    因此.

    （2）由题意，的可能取值为，2，.

    其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；

    其中的三角形有两个，和.

    因此，.

    所以随机变量的概率分布列为：

    2

    所求数学期望

    .

    练习册系列答案
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    支持生育二孩

    不支持生育二孩

    合计

    男性

    30

    女性

    60

    100

    合计

    70

    （1）完成2×2列联表，并求是否有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关？

    （2）现从样本中的女性中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出2人进行深层次的交流，求选出的2人中至少有1人“支持生育二孩”的概率.

    参考公式：，其中.

    参考数据：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

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    【题目】已知O为坐标原点，，，直线AG，BG相交于点G，且它们的斜率之积为.记点G的轨迹为曲线C.

    （1）若射线与曲线C交于点D，且E为曲线C的最高点，证明：.

    （2）直线与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN与y轴分别交于P，Q两点.试问在x轴上是否存在定点T，使得以PQ为直径的圆恒过点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由.

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    【题目】在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为元、元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于人，那么下列说法中错误的是（ ）

    A.最多可以购买份一等奖奖品

    B.最多可以购买份二等奖奖品

    C.购买奖品至少要花费元

    D.共有种不同的购买奖品方案

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    【题目】为迎接“五一国际劳动节”，某商场规定购买超过6000元商品的顾客可以参与抽奖活动现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品，从这两种品牌的扫地机器人中各随机抽取6台检测它们充满电后的工作时长相关数据见下表（工作时长单位：分）

    机器序号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    甲品牌工作时长/分

    220

    180

    210

    220

    200

    230

    乙品牌工作时长/分

    200

    190

    240

    230

    220

    210

    （1）根据所提供的数据，计算抽取的甲品牌的扫地机器人充满电后工作时长的平均数与方差；

    （2）从乙品牌被抽取的6台扫地机器人中随机抽出3台扫地机器人，记抽出的扫地机器人充满电后工作时长不低于220分钟的台数为，求的分布列与数学期望.

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    (Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

    (Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．

    女生

    男生

    总计

    获奖

    不获奖

    总计

    附表及公式：

    其中,．

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    参加文体活动

    不参加文体活动

    合计

    学习积极性高

    80

    学习积极性不高

    60

    合计

    200

    已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为.

    （1）请将上面的列联表补充完整；

    （2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；

    （3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率.

    附：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    ，其中.

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    （1）证明：平面平面；

    （2）当平面与平面所成锐二面角的余弦值，求直线与平面所成角正弦值.

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    （1）若过点，且，求的斜率；

    （2）若，且的斜率为，当时，求在轴上的截距的取值范围（用表示），并证明的平分线始终与轴平行.

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