Question

7．如图所示，在四边形ABCD中，D=2B，且$AD=2，CD=6，cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求△ACD的面积；          
（2）若$BC=4\sqrt{3}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=4$\sqrt{3}$，利用余弦定理求解AB的长．

解答 解：（1）∵$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0＜B＜π，可求：sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
∴$sinD=sin2B=2sinBcosB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}•AD•CD•sinD=4\sqrt{2}$．…（6分）
（2）∵AD=2，CD=6，cosD=2cos²B-1=-$\frac{1}{3}$，
∴在△ACD中，由余弦定理知，$AC=\sqrt{A{D^2}+C{D^2}-2AD•CD•cosD}$=$\sqrt{4+36-2×2×6×（-\frac{1}{3}）}$=4$\sqrt{3}$，
∵在△ABC中，$cosB=\frac{{A{B^2}+B{C^2}-A{C^2}}}{2AB•BC}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴解得：AB=8．…（12分）

点评 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．