Question

已知函数f(x)=

1

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证：nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，即可得到函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），求导函数，由（Ⅰ）知，f（x）_min=f（1）=0，由此能导出不存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)=

1

x

+lnx-1≥0，x＞0，由m＞0，n＞0，可得f(

n

m

)≥0，由此能够证明nⁿe^m≥mⁿeⁿ．

解答： （Ⅰ）解：∵f(x)=

1

x

+lnx-1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

…（1分）
令f′（x）＞0得x＞1，令f′（x）＜0得0＜x＜1…（2分）
∴f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）…（3分）
（Ⅱ）解：∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
∴g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1=（

1

x

-lnx-1）e^x+1，…（5分）
由（Ⅰ）易知，f（x）_min=f（1）=0，
∴当x₀∈（0，+∞）时，

1

x0

+lnx0-1≥0 …（6分）
又ex0＞0，∴g′（x₀）≥1＞0 …（7分）
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x₀）=0有实数解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0无实数解．…（8分）
故不存在实数x₀∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．…（9分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得：f(x)=

1

x

+lnx-1≥0，x＞0（当且仅当x=1是等号成立） …（10分）
∵m＞0，n＞0，
∴f(

n

m

)≥0…（12分）
∴

m

n

+ln

n

m

-1≥0?ln

n

m

≥

n-m

n

?nln

n

m

≥n-m?(

n

m

)n≥en-m
整理得：nⁿe^m≥mⁿeⁿ…（14分）

点评：本题考查函数单调性的判断，考查实数是否存在的判断，考查不等式的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大．