Question

2．设F₁，F₂为双曲线$Γ：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为Γ上一点，PF₂与x轴垂直，直线PF₁的斜率为$\frac{3}{4}$，则双曲线Γ的渐近线方程为（　　）

• A． y=±x
• B． $y=±\sqrt{2}x$
• C． $y=±\sqrt{3}x$
• D． y=±2x

Answer 1

分析 求出PF₂，则$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{3}{4}$，化简整理即可得出a，b的关系，得出渐近线方程．

解答 解：把x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴PF₂=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵直线PF₁的斜率为$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{ac}=\frac{3}{2}$，即2c²-2a²-3ac=0，
∴2e²-3e-2=0，∴e=2或e=-$\frac{1}{2}$（舍）．
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=2，即$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=4$，∴b=$\sqrt{3}$a，
∴双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的性质，属于中档题．