Question

11．已知椭圆E的中心在原点，焦点F₁，F₂在y轴上，离心率为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，P是椭圆E上的点，以线段PF₁为直径的圆经过F₂，且$9\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）作直线l与椭圆交于两个不同的点M，N，如果线段MN被直线2x+1=0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程，则椭圆的离心率公式$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，根据椭圆的定义可知m+n=2a，由PF₂⊥F₁F₂，n²+（2c）²=m²，根据向量数量积的坐标运算，即可求得n=$\frac{1}{3}$，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，中点坐标公式及韦达定理即可求得b=$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$，根据△＞0，即可求得直线斜率的取值范围，求得直线的倾斜角的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆E的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，①设丨PF₁丨=m，丨PF₂丨=n（m＞0，n＞0），则有m+n=2a，②
以线段PF₁为直径的圆经过F₂，则PF₂⊥F₁F₂，
∴n²+（2c）²=m²，③又由$9\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=1$．
∴9mncos∠F₁PF₂=1，即9mn=$\frac{n}{m}$=1，即n²=$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{3}$，
由①②③解得：a=3，c=2$\sqrt{2}$，
则b²=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{y^2}{9}+{x^2}=1$；
（Ⅱ）假设存在直线l，则依题意得l交椭圆所得弦MN被x=-$\frac{1}{2}$平分，
∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+b，设M（x₁，y₁），N（x₁，y₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
消去y，整理得（k²+9）x²+2kbx+b²-9=0，
x₁+x₂=$\frac{2kb}{{k}^{2}+9}$，
△=4k²b²-4（k²+9）（b²-9）=36（k²-b²+9），
则$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{kb}{{k}^{2}+9}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b=$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$，将上式代入判别式，由△＞0，可得k²-（$\frac{{k}^{2}+9}{2k}$）²+9＞0，解得k＞$\sqrt{3}$或k＜-$\sqrt{3}$，
则直线l倾斜角的取值范围为$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）∪（\frac{π}{2}，\frac{2π}{3}）$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．