Question

16．函数f（x）=x³-3x-1，若对于区间[-3，2]上的任意x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，则实数t的最小值是20．

Answer 1

分析 对于区间[-3，2]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，等价于对于区间[-3，2]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．

解答 解：对于区间[-3，2]上的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，
等价于对于区间[-3，2]上的任意x，都有f（x）_max-f（x）_min≤t，
∵f（x）=x³-3x-1，∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∵x∈[-3，2]，
∴函数在[-3，-1]、[1，2]上单调递增，在[-1，1]上单调递减，
∴f（x）_max=f（2）=f（-1）=1，f（x）_min=f（-3）=-19，
∴f（x）_max-f（x）_min=20，
∴t≥20，
∴实数t的最小值是20，
故答案为：20．

点评 本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．