Question

17．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=EC，DF=λDC，若$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=1，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 作出图形，利用平面向量的三角形加法运算法则可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{AB}$，再利用平面向量的数量积计算可得答案．

解答 解：∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=EC，DF=λDC，如图：

∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
同理可得，$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$+λ$\overrightarrow{AB}$）=λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$+（1+$\frac{λ}{2}$）|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AD}$|cos120°=4λ+2+（1+$\frac{λ}{2}$）×2×2×（-$\frac{1}{2}$）=3λ=1，
∴λ=$\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量的三角形加法运算法则与平面向量基本定理的应用，属于中档题．