Question

【题目】已知椭圆的离心率，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与相交于A，B两点，的周长为。

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在直线使为直角，若存在求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）故不存在直线使为直角

【解析】

（1）由离心率为得ac，由△F1AB周长为4可求得a值，进而求得b值；

（2）联立直线和椭圆方程，转化为一元二次方程根与系数之间的关系，利用设而不求思想进行转化求解即可．

（1）∵椭圆离心率为，∴，∴ac，

又△F1AB周长为4，∴4a＝4，解得a，∴c＝1，b，

∴椭圆C的标准方程为：；

（2）椭圆C的右焦点（1，0），

①当直线l斜率不存在时，直线l与椭圆C交于（，）．（1，）两点，显然不存在满足条件的直线．

②当直线l斜率存在时，设直线l：y＝kxk代入，

消y得，（2+3k2）x2-6k2x+3k2﹣6＝0，

由于直线l经过椭圆 C左焦点，所以直线l必定与椭圆C有两个交点，

则△＞0恒成立

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，

若为直角，则0，即x1x2+y1y2＝0 （*）

而y1y2＝（kx1k）（kx2k）＝k2x1x2k2（x1+x2）+k2，代入（*）式得，

（1+k2）x1x2k2（x1+x2）+k2＝0，

即（1+k2）k2k2＝0，解得k2，

所以不存在k使得为直角．