【题目】已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若关于的不等式
在[1,+∞)上恒成立,求实数
的取值范围。
【答案】(1)当时,函数
在
上单调递增;当
时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减;(2)
.
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,判断函数的单调性即可;
(2)令h(x)=lnx+ex﹣2ax+2a﹣e,求出函数的导数,设,根据函数的单调性求出a的范围即可.
(1)依题意,,
当a≤0时,1﹣2ax>0,故f(x)>0;
当a>0时,x=
,故当
时,f
(x)>0,当
时,f'(x)<0;
综上:当a≤0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在
上单调递减;
(2)由题意得,当x≥1时,lnx+ex﹣2ax+2a﹣e≥0恒成立;
令h(x)=lnx+ex﹣2ax+2a﹣e,
求导得,
设,则
,
因为x≥1,所以,所以
(x)>0,
所以φ(x)在[1,+∞)上单调递增,即h'(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h
(1)=1+e﹣2a;
①当时,h
(x)≥0,此时,h(x)=lnx+ex﹣2ax+2a﹣e在[1,+∞)上单调递增,
而h(1)=0,所以h(x)≥0恒成立,满足题意;
②当时,h
(1)=1+e﹣2a<0,
而;
根据零点存在性定理可知,存在x0∈(1,ln2a),使得h(x0)=0.
当x∈(1,x0)时,h(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,h(x)单调递增.
所以有h(x0)<h(1)=0,这与h(x)≥0恒成立矛盾,舍去;
综上所述,实数a的取值范围为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位,所得直线与圆x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为( )
A.-3或7B.-2或8
C.0或10D.1或11
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的右准线方程为
,右顶点为
.
求椭圆C的方程;
若M,N是椭圆C上不同于A的两点,点P是线段MN的中点.
如图1,若
为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方,求直线MN的方程;
如图2所示,点Q是线段NA的中点,若
且
的角平分线与x轴垂直,求直线AM的斜率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两支球队进行总决赛,比赛采用七场四胜制,即若有一队先胜四场,则此队为总冠军,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入40万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.
(I)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率;
(II)设总决赛中获得门票总收入为X,求X的均值E(X).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率
,
分别是椭圆
的左、右焦点,过
的直线
与
相交于A,B两点,
的周长为
。
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线使
为直角,若存在求出此时直线
的方程;若不存在,请说明理由。
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com