Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右准线方程为，右顶点为．

求椭圆C的方程；

若M，N是椭圆C上不同于A的两点，点P是线段MN的中点．

如图1，若为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方，求直线MN的方程；

如图2所示，点Q是线段NA的中点，若且的角平分线与x轴垂直，求直线AM的斜率．

Answer 1

【答案】（1）； （2）①；②.

【解析】

（1）利用准线方程，顶点坐标，得到的值，从而得到椭圆方程；（2）①利用等腰直角三角形，求得点坐标；再利用点差法，求得直线的斜率，得到直线方程；②根据点差法得到的结论，通过假设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理求得两点坐标，构造关于的方程，求得的取值。

椭圆C：的右准线方程为，右顶点为．

，，，，

椭圆C的方程为．

为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方．

的方程为：，AP的方程为：．

由可得．

设，则，

，，

两式相减可得

可得：，又，可得．

直线MN的方程为，即．

设AM的斜率为k，点P是线段MN的中点，点Q是线段NA的中点，．

的角平分线与x轴垂直，，．

由可得，．

设AM的方程为．

由可得．

，

，，

以换k，可得，，

，

整理可得：，解得，．

直线AM的斜率为