Question

正项数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，又数列{

anan+1

}是以

2

2

为公比的等比数列，则使得不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＜1280成立的最大整数n为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：确定数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，2^-1为公比的等比数列，数列{a_2n}是以a₂=2为首项，2^-1为公比的等比数列，再利用等比数列的求和公式，即可求得结论．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，∴

a1a2

=

2

．
又{

anan+1

}是以

2

2

为公比的等比数列，
∴

anan+1

=21-

n

2

．
∴a_na_n+1=2^2-n，∴

an+1an+2

anan+1

=2^-1=

an+2

an

．
∴数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，2^-1为公比的等比数列，∴a_2n-1=2^1-n．∴

1

a2n-1

=2^n-1．
数列{a_2n}是以a₂=2为首项，2^-1为公比的等比数列，∴a_2n=2^2-n．∴

1

a2n

=2^n-2．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

=（2⁰+2+2²+…+2ⁿ）+（2^-1+2⁰+2¹+…+2^n-2）
=2ⁿ⁺¹-1+

1

2

（2ⁿ-1）=5•2^n-1-

3

2

不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＜1280，化为5•2^n-1-

3

2

＜1280，
∵2⁹=502，2⁸=256．
∴n-1＜9，解得n＜10．
因此使得不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＜1280成立的最大整数n为9．
故答案为：9．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分奇数和偶数项分别为等比数列的数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．