Question

【题目】己知函数f（x）=xlnx．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）对x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）成立，求实数m的最小值；
（3）证明：1n ．（n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）解： f（1）=ln1=0，f′（1）=ln1+1=1；

故曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=x﹣1，

即x﹣y﹣1=0

（2）解：∵x≥1，f（x）≤m（x2﹣1），

∴xlnx≤m（x2﹣1），

∴m（x﹣ ）﹣lnx≥0，

设g（x）=m（x﹣ ）﹣lnx，x≥1；

则问题等价于x≥1，g（x）≥0恒成立；

注意到g（1）=0，

∵g′（x）=m（1+ ）﹣ ，

∵x≥1，∴ ，

∴当m≤0时，g（x）在[1，+∞）上单调递减，

∴g（x）≤g（1）=0，故不成立；

当m＞0时，g′（x）= ，

令h（x）=mx2﹣x+m，

∵△=1﹣4m2，

①若△=1﹣4m2≤0，即m≥ 时；

此时，h（x）≥0，故g′（x）≥0，

故g（x）在[1，+∞）上单调递增，

故g（x）≥g（1）=0，故成立；

②若△=1﹣4m2＞0，即0＜m＜ 时；

此时，h（x）=0存在两个不同的实数根x1，x2，

不妨设x1＜x2，

故x1x2=1，故x1＜1＜x2，

故g（x）在[1，x2）上单调递减，

故g（x）≤g（1）=0，故不成立；

综上所述，实数m的最小值为

（3）证明：由（2）知，当m= 时，对x≥1，xlnx≤ （x2﹣1）恒成立，

即lnx≤ （当且仅当x=1时等号成立）；

设i∈N*，则 ＞1，

故ln ＜ （ +1）（ ﹣1） = ，

故 ln ＜ ，

故 ，

即1n ．（n∈N*）

【解析】（1）由f（1）=0，f′（1）=1；从而写出切线方程即可；（2）化简可得m（x﹣ ）﹣lnx≥0，从而令g（x）=m（x﹣ ）﹣lnx，x≥1；则问题等价于x≥1，g（x）≥0恒成立；从而求导确定函数的单调性及取值情况，从而解得．（3）由（2）知，当m= 时，对x≥1，xlnx≤ （x2﹣1）恒成立，从而化简可得lnx≤ （当且仅当x=1时等号成立）；再设i∈N* ， 则 ＞1，从而证明．
【考点精析】通过灵活运用函数的最大(小)值与导数，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．