(本小题满分12分)如图,在点上,过点做//将的位置(),
使得.
(I)求证: (II)试问:当点上移动时,二面角的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.
(1)见解析;(2)当点E在线段AB上移动时,二面角的平面角的余弦值为定值.
解析试题分析:(1)在中,
又平面PEB.
又平面PEB,
(2)在平面PEB内,经P点作PDBE于D,由(1)知EF面PEB,
EFPD.PD面BCEF.在面PEB内过点B作直线BH//PD,则BH面BCFE.以B点为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
设PE=x(0<x<4)又
在中,
从而
设是平面PCF的一个法向量,由
得取得
是平面PFC的一个法向量 又平面BCF的一个法向量为
设二面角的平面角为,则
因此当点E在线段AB上移动时,二面角的平面角的余弦值为定值.
考点:本题主要考查立体几何中的基本问题,空间向量的应用。
点评:本题通过考查直线与直线,直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想,函数与方程思想等.属中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1中点.
(1)求证:C1D⊥AB1 ;
(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.
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如图,三棱柱中,平面,,,为的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设的中点为,问:在矩形内是否存在点,使得平面.若存在,求出点的位置,若不存在,说明理由.
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(14分)如右图,简单组合体ABCDPE,其底面ABCD为边长为的正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC=.
(1)若N为线段PB的中点,求证:EN//平面ABCD;
(2)求点到平面的距离.
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(本小题满分14分)
如图,四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90 ,且BC=2AD=2,AB=4,SA=3.
(1)求证:平面SBC⊥平面SAB;
(2)若E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外),满足.()
①求证:对于任意的,恒有SC∥平面AEF;
②是否存在,使得△AEF为直角三角形,若存在,求出所有符合条件的值;若不存在,说明理由.
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(本题满分12分) 如图,平面⊥平面,其中为矩形,为梯形,∥,⊥,==2=2,为中点.
(Ⅰ) 证明;
(Ⅱ) 若二面角的平面角的余弦值为,求的长.
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本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,,,,点、分别是、的中点.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)证明:平面平面;
(Ⅲ)求多面体A1B1C1BD的体积V.
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