Question

16．已知|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=3，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60^o，$\overrightarrow c$=5$\overrightarrow a$+3$\overrightarrow b$，$\overrightarrow d$=3$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$⊥$\overrightarrow d$，求k的值．

Answer 1

分析 根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，再根据向量的数乘、数量积、分配律等运算法则，整理出结果，得到关于k的方程，解方程即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow a$|=2，|$\overrightarrow b$|=3，$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为60^o，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow{b}$|cos60°=2×3×$\frac{1}{2}$=3；
又$\overrightarrow{c}$=5$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$（k∈R），且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，
∴（5$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=0，
∴15${\overrightarrow{a}}^{2}$+（5k+9）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+3k${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即15×4+3（5k+9）+3k×9=0，
化简得14k+29=0，
解得k=-$\frac{29}{14}$．

点评 本题考查了平面向量的垂直关系应用问题，是基础题目．