Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为非零向量，则“（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）⊥（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）对任意非零实数x，y都成立”是“$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分又不必要条件

Answer 1

分析 “（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）⊥（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）对任意非零实数x，y都成立”，可得：（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）•（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）=2xy${\overrightarrow{a}}^{2}$-xy${\overrightarrow{b}}^{2}$+$（2{y}^{2}-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
?$2{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$+$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，必然有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．反之不一定成立．

解答 解：∵“（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）⊥（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）对任意非零实数x，y都成立”，
∴（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）•（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）=2xy${\overrightarrow{a}}^{2}$-xy${\overrightarrow{b}}^{2}$+$（2{y}^{2}-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
?$2{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}$+$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}}{xy}$$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
必然有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．
反之：可得（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）•（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）=2xy${\overrightarrow{a}}^{2}$-xy${\overrightarrow{b}}^{2}$+$（2{y}^{2}-{x}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2xy（${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$）=0，不一定成立．
因此“（x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$）⊥（2y$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$）对任意非零实数x，y都成立”是“$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$”的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．