Question

设函数．
(1)求f(x)的单调区间和极值;
(2)关于的方程f(x)=a在区间上有三个根,求a的取值范围．

Answer 1

(1) f(x)的单调增区间为,；单调减区间为;当时f(x)有极大值,当x=2时, f(x)有极小值-8．
(2)

解析试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，根据函数单调性即可求得函数极值；
（2）关于的方程f(x)=a在区间上有三个根,即函数y=a与y=f（x）的图象在区间上有三个交点，只需要函数y=" f(x)" 和函数y="a" 的图像有两个交点．根据函数单调性变化情况，可求得实数a的值．
(1) ,由得        (2分)

x				2
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

由上表得, f(x)的单调增区间为,；单调减区间为;
当时f(x)有极大值,当x=2时, f(x)有极小值-8．                      (6分)
(2)由题知,只需要函数y=" f(x)" 和函数y="a" 的图像有两个交点．                (7分)
 ,所以                 
由(1)知f(x)在,当上单调递减, 上单调递增,在在上单调递减． (10分)
∴当 时, y=" f(x)" 和y="a" 的图像有两个交点．即方程f(x)=a在区间上有三个根．                    (12分)
考点：函数的单调区间和极值;函数图像的交点与方程的根的对应关系．