Question

6．已知直线y=kx+1与抛物线y=x²交于A，B两点．O为坐标原点
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若△AOB的面积为2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ y={x^2}\end{array}\right.⇒{x^2}-kx-1=0$
利用韦达定理可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）=-1-{k^2}+{k^2}+1=0$，即可证明
（2），O到直线AB的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，$|AB|=\sqrt{{k^2}+1}•\frac{{\sqrt{{k^2}+4}}}{1}$
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{{k^2}+4}=2$，即可求得k的值

解答 解：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ y={x^2}\end{array}\right.⇒{x^2}-kx-1=0$…（2分）
△=k²+4＞0⇒k∈R，x₁+x₂=k，x₁x₂=-1…（4分）
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）=-1-{k^2}+{k^2}+1=0$，
∴OA⊥OB…（6分）
（2）O到直线AB的距离为d=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$…（7分）
$|AB|=\sqrt{{k^2}+1}•\frac{{\sqrt{{k^2}+4}}}{1}$…（9分）
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{{k^2}+4}=2$…（10分）
∴${k^2}=12⇒k=±2\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查了抛物线的线性，向量的数量积运算，属于中档题