Question

从正方体的各表面对角线中随机取两条，这两条表面对角线成的角的度数的数学期望为

 

．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：这两条表面对角线成的角的度数ξ的可能取值为0°，60°，90°，分别求出相应的概率，由此能求出这两条表面对角线成的角的度数的数学期望．

解答： 解：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
与上平面A′B′C′D′中一条对角线A′C′成60°的直线有BC′，B′C，
A′D，AD′，A′B，AB′，D′C，DC′共八对直线，
与上平面A′B′C′D′中另一条对角线成60°的直线也有八对直线，
所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有16×6对直线，
去掉重复，则有

16×6

2

=48对．
同理，对角线成90°的有24对直线，对角线成0°的有12对直线，
∴这两条表面对角线成的角的度数ξ的可能取值为0°，60°，90°，
P（ξ=0°）=

12

12+24+48

=

1

7

，
P（ξ=60°）=

48

12+24+48

=

4

7

，
P（ξ=90°）=

24

12+24+48

=

2

7

，
∴Eξ=0°×

1

7

+60°×

4

7

+90°×

2

7

=60°．
故答案为：60°．

点评：本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体结构特征的合理运用．