Question

7．已知双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，抛物线C₂：y²=-2ax的焦点为F，若在曲线C₁的渐近线上存在点P使得PM⊥PF，则双曲线C₁离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． $（{1，\frac{{3\sqrt{2}}}{4}}]$
• C． （1，+∞）
• D． $（{\frac{{3\sqrt{2}}}{4}，2}）$

Answer 1

分析 通过垂直关系，求出圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离小于半径，列出关系式求解即可．

解答 解：在曲线C₁的渐近线上存在点P使得PM⊥PF，即以MF为直径的圆与渐近线有交点，M（-a，0）$F（{-\frac{a}{2}，0}），r=\frac{a}{4}$，圆心$N（{-\frac{3a}{4}，0}）$，由点N到渐近线$y=\frac{b}{a}x$的距离小于等于半径，$\frac{|\frac{3a}{4}×\frac{b}{a}|}{\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}}＜\frac{a}{4}$即3b≤c，
解得$e∈（{1，\frac{{3\sqrt{2}}}{4}}]$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质以及圆心性质的应用，考查计算能力．