设F1.F2分别是椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点.过点F1的直线交椭圆E于A.B两点.|AF1|=3|BF1|.若cos∠AF2B=$\frac{3}{5}$.则椭圆E的离心率为( )A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{2}{3}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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2．设F₁，F₂分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，|AF₁|=3|BF₁|，若cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，则椭圆E的离心率为（　　）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

D．

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

分析设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF₁F₂是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．

解答解：设|F₁B|=k（k＞0），则|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，
在△ABF₂中，由余弦定理得，|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²-2|AF₂|•|BF₂|cos∠AF₂B，
∴（4k）²=（2a-3k）²+（2a-k）²-$\frac{6}{5}$（2a-3k）（2a-k），
化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF₂|=|AF₁|=3k，|BF₂|=5k，
∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，
∴AF₁⊥AF₂，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：D．

点评本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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A．

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B．

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C．

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D．

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B．

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C．

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A．

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B．

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C．

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D．

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