Question

18．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．圆O的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$（θ为参数，r＞0）．
（Ⅰ）求圆O的圆心的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π ）；
（Ⅱ）当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据圆O的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$可得圆心为（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$），根据ρ²=x²+y²，可得ρ=1，tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{5π}{4}$．可得圆心的极坐标．
（Ⅱ）将直线l的极坐标方程ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$化为普通方程，然后把参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$带入圆心到直线的距离公式d，利用三角函数的有界限即可求．

解答 解：（Ⅰ）圆O的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$，
可得圆心为（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$），
由ρ²=x²+y²，可得ρ=1，tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{5π}{4}$．
∴圆心的极坐标为（1，$\frac{5π}{4}$）．
（Ⅱ）直线l的极坐标方程ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$化为普通方程，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x+y-1=0，
把参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$，
由圆心到直线的距离公式d=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ-1|}{\sqrt{2}}$，即d=$\frac{|-\sqrt{2}+\sqrt{2}rsin（θ+\frac{π}{4}）-1|}{\sqrt{2}}$，
当sin（$θ+\frac{π}{4}$）=-1时，圆O上的点到直线l的最大，即$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}r+1}{\sqrt{2}}$=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得r=1
∴当r=1时，圆O上的点到直线l的最大距离为2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系是解题的关键．